Vlasov-Poisson系统与Boltzmann方程的无限能量解和永久型解

摘要

数学上很多重要的概念和进展都起源十N-体问题，它通过牛顿运动方程描述了N个质点的运动这样的问题经过统计平均得到了我们所熟悉的动力学方程.本文研究的动力学方程主要是Boltzmann方程和Vlasov-Poisson方程当前比较受关注的是无限质量和无限能量问题，Perthame和Castella分别研究了Vlasov-Poisson方程和Vlasov-Poisson-Fokker Planck方程在初值fo∈L1∩ L∞的无限能量解滑用他们的思想，本文在更一般的情况，即假设初值fo∈L1∩Lp时证明了Vlasov-Poisson方程和Vlasov-Poisson-Fokker-Planck方程无限能量解的存在性.其关键的步骤就是对空间质量密度p(t，X)，场E(t，X)的P范数以及关于速度变量的低阶矩做估计，这些估计在具体形式上都是新的，其结果拓展了Perthame和Castella等人的工作.而且在空间质量密度有界的条件下，我们利用概率距离(Wasserstein距离)的方法证明了Vlasov-Poisson方程解的唯一性． 另外，本文在软位势(包括Maxwell分子模型)情形下，证明了空间非均匀Boltz-mann方程无限能量解的存在性.根据Kaniel-Shinbrot迭代方法，我们利用一些估计以及解微分方程的方法找到了满足开始条件的两个函数lo和uo，从而证明了方程解的存在唯一性.因为初值取在局部Maxwell分布(且Mo(x，∈)=exp(-|∞-ξ|2/2))附近，它的解也位于Maxwell分布exp(-|∞-ξ(1+ξ)|2/2)的附近，显然这样的解具有无限的质量和能量此结果完善了Mischler和Perthame的工作，他们只是对于Maxwell分子模型证明了Boltzmarm无限能量解的存在性． 最后，本文利用一种新的迭代方法(有别于Kamiel-Shinbrot迭代)在硬位势和硬球模型情形下证明了Boltzmann方程永久型解的存在唯一性.这种新的迭代方法，其巧妙之处在于，当开始条件满足时既能保证迭代能够继续下去，同时使得迭代序列是单调的.我们曾在空间非均匀的情况下，利用这种迭代方法对软位势情形得到了Boltzmann方程永久型解的存在唯一性.法国青午数学家Villani在他的博士学位论文以及相关著作中猜测：除Maxwell分布的永久型解外，Boltzmann方程没有其他的永久型解Bobylev和Cercignani证明这个猜想在空间均匀的情况下是正确的.我们的结果说明Villani的猜测对于空间非均匀的无界医域情况是不成立的.