求解奇异初值问题的改进再生核方法

摘要

各种应用数学和物理学中总会出现奇异微分方程，如：原子结构、气体动力学、化学反应的研究。所以，这类问题受到了学者广泛的关注并对其进行了研究。并且这类方程精确解的解析表达式是比较难获得的，所以寻求合适的数值方法就成为理论与应用中一个重要的研究课题，因此对于求这类有实际意义方程的数值解也就显得尤为重要。
　　本文介绍了再生核方法、外推法和龙格-库塔法的基本理论，并利用这三种方法求解带有初始条件的二阶非线性奇异微分方程，研究内容主要分为以下几部分。
　　第一章，主要介绍奇异微分方程初值问题的研究现状，详细描述了再生核方法的发展情况。
　　第二章，介绍再生核空间的定义及其基本性质。同时，详细描述了外推法的基本理论。
　　第三章，结合再生核方法和外推法，提出求解带有初始条件的二阶非线性奇异微分方法的一种改进的再生核方法，给出该方法的计算公式和误差估计，并对误差估计进行证明，并通过数值算例进行对比分析。
　　第四章，介绍龙格-库塔法和传统的再生核法，分析两种方法在求解奇异初值问题的优缺点，结合两种方法提出求解带有初始条件的二阶奇异非线性微分方程的一种新方法，通过数值算例进行对比分析。

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第1章 绪论

1.1 课题来源和研究的目的及意义

1.2 国内外研究发展状况

1.3 本文的主要研究内容

第2章 基础知识

2.1 再生核的定义及基本性质

2.2 外推法

2.3 本章小结

第3章 二阶奇异非线性微分方程初值问题的一种改进再生核方法

3.1引言

3.2再生核方法(RKM)

3.3误差估计

3.4改进的再生核方法(RKEM)

3.5数值算例

3.6本章小结

第4章 龙格-库塔法和再生核法结合求解奇异初值问题

4.1引言

4.2数值方法

4.3 再生核法与龙格-库塔法结合

4.4 数值算例

4.5 本章小结

结论

参考文献

攻读学位期间发表的学术论文

致谢