具有线性扩散及非线性扩散Sporns-Seelig模型的时空模式及动力学行为分析

摘要

本文主要研究具有线性扩散及非线性扩散的Spoms-Seelig模型,此模型用来模拟有酶参与的基因调控机制.为了进一步研究扩散对该模型时空模式的影响,本文将利用无穷维动力系统的定性理论以及分支理论等方法,从两个方面考虑问题:经典的线性扩散情况以及依赖密度的非线性扩散情况.针对以上这两种情况,本文详细的研究了其动力学行为和时空模式.
　　本文具体研究内容如下：
　　第一章:本文主要从国内外两方面来阐述论文的研究背景以及最新研究情况,然后简要介绍论文的研究意义以及研究论文所需要掌握的相关基础知识,并且概括的介绍了本篇论文的研究工作.
　　第二章:本文从经典的线性扩散角度对该模型进行详细的时空模式及动力学行为分析.利用不变矩形的知识给出解的吸引域并通过构造李雅普诺夫函数来证明解的全局渐近稳定性.特别地,针对常微分方程系统进行动力学行为分析,通过利用常微分方程的稳定性理论来证明解的稳定性.然后,利用一系列的不等式证明了正的非常值稳态解的不存在性.最后,通过Hopf分歧定理以及稳态分歧定理,来研究一维情况下系统的时空模式.
　　第三章:本文从非线性扩散角度对该模型进行详细的时空模式及动力学行为分析.由于非线性扩散系统是退化的系统，因此,构造出相应的受扰动的非退化系统,给出其弱解的全局存在性和有界性的证明.然后根据极大值原则和Harnack不等式给出了非常值正稳态解的先验估计,并利用Leray-Schuder拓扑度理论以及拓扑度的同伦不变性证明了系统非常值稳态解的存在性.

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第 1章绪论

1 .1研究背景及意义

1 .2相关基础知识

1 .2 .1拓扑度理论

1 .2 .2李雅普诺夫函数法

1.2.3 Hopf分支与稳态分支

1 .3本文的主要工作

第2章经典的线性扩散系统的动力学行为和模式

2 .1吸引域与解的长时间动力学行为

2 .1 .1解的吸引域

2.1.2 ODEs系统解的稳定性

2 .2正的非常值稳态解的不存在性

2 .3时空模式的分歧分析

2 .4本章小结

第3章非线性扩散系统的动力学行为和模式

3 .1弱解的全局存在性和有界性

3 .1 .1弱解的有界性

3 .1 .2弱解的存在唯一性

3 .2非常值正稳态解的先验估计

3 .3非常值正稳态解的存在性

3.4 本章小结

结论

参考文献

攻读硕士学位期间发表的论文和取得的科研成果

致谢