基于辛几何算法的地震波射线追踪研究

摘要

地震波射线追踪是研究地震波波传播的基础，并且被广泛地应用于地震波波场数值模拟、速度结构成像等相关领域，尤其是在地震波走时层析成像过程中，射线路径的准确性及射线走时的精度决定了层析成像的效果。因而，准确、快速的射线追踪一直是地震学中最关键而又具有挑战性的难题之一。目前，广泛使用的射线追踪方法包括基于射线理论的打靶法（Shooting Method）、弯曲法（Bending Method）、高斯射线束算法（Gaussian Beam Method）等；基于网格单元扩展的有限差分求解程函方程法、快速行进法（FMM-Fast Marching Method）、最短路径算法（Shortest Ray Tracing Method），以及结合射线和网格单元扩展的波前构造法（Wavefront Method）。
　　在传统的射线追踪方法中，地震波的传播采用高频近似法，用几何光学将波动现象转化成为射线理论，并用射线管的概念来解释射线的传播机制。但是，对于复杂的速度结构，普通的射线理论有时会产生焦散现象，使得几何渐近射线理论失效。另一方面，目前所使用的地震波射线追踪算法基本上都是在直角坐标系中进行，对于大尺度区域性的地球内部结构研究，描述球体内部复杂的速度结构需要反复进行坐标变换，使得计算量增大，同时造成计算精准度低下。
　　哈密尔顿（Hamiltonian）系统是描述各种守恒的物理和力学过程的三种基本形式（牛顿力学、拉格朗日力学及哈密尔顿力学）之一，而辛几何则是该系统的数学基础，并且哈密尔顿系统具有辛结构不变性和能量守恒性。作为弹性力学中的地震波射线追踪问题，当然也可以用哈密尔顿系统进行描述。从辛几何算法看来，射线是相空间中的特征线在物理空间上的投影，能有效的弥补传统方法上的不足。
　　本论文在对地震波射线追踪方法进行系统分析研究的基础上，在直角坐标系及球坐标系两种情况下，采用不同的求解哈密尔顿系统的辛几何算法，利用CPU并行计算技术，对三维复杂介质中的地震波进行射线追踪，并且进行了数值模拟。辛几何算法可以有效提高程函方程解稳定性，保证了地震波波前精度，提高了射线空间位置的准确性。数值模拟结果表明，基于辛几何算法的射线追踪方法不仅具有精度高、计算速度快的优点，而且避免了焦散现象。

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第1章引言

1.1研究背景、目的以及意义

1.2国内外研究现状以及存在问题

1.3本文研究内容

1.4研究创新点

第2章传统地震波射线追踪方法

2.1地震波射线追踪理论基础

2.2试射法

2.3弯曲法

2.4高斯射线束法

2.5网格法

2.6球对称介质中的地震射线

第3章基于辛几何算法的地震波射线追踪

3.1勒让德变换

3.2欧拉-拉格朗日方程

3.3程函方程的哈密尔顿形式

3.4哈密尔顿系统下的地震波射线方程组

3.5射线方程的辛几何数值解

第4章数值模拟实例及结果分析

4.1线性层状模型

4.2复杂模型

第5章结论

致谢

附录一

附录二

参考文献