耦合的KdV-Schrödinger以及广义的Zakharov方程的整体适定性

摘要

本研究涉及到三类非线性发展方程：KdV方程、Schr(o)dinger方程和Zakharov方程，它们都是比较经典的数学模型。主要研究了一维非线性KdV-Schr(o)dinger方程和维数不超过二的一类广义的Zakharov方程的整体适定性问题。
　　第一章介绍了相关问题的研究背景，主要工作以及一些预备知识。第二章考虑了一维非线性KdV-Schr(o)dinger方程的整体解的存在性和唯一性。本章利用一个修正的方程组来证明这个问题，因此第一节给出修正后的方程组的解的积分先验估计，第二节通过构造一个逐次逼近序列得到修正方程组的局部解的存在性，综合这两节的内容即可解决整体解的存在性问题。第三章考虑了维数不超过二的一类广义的Zakharov方程。利用Galerkin方法和积分先验估计解决了这类具有初值的方程组的整体适定性问题。由于Galerkin方法得到局部解的存在性是比较经典而标准的，省略了这部分的证明过程，只在本章的后两节分别给出了这个方程组在一维和二维情形下解的积分先验估计。

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1 绪 论

1.1 课题背景与研究内容

1.1.1 KdV方程和Schr?dinger方程

1.1.2 Zakharov方程

1.2 预备知识

1. 2. 1 基本符号和函数空间

1. 2. 2 常用不等式和基本定理

2 非线性KdV-Schr?dinger方程

2.1 主要结论

2.2 积分先验估计

2.3 局部解的存在性

3 广义的Zakharov方程

3.1 主要结论

3.2 一维空间上的积分先验估计

3.3 二维空间上的积分先验估计

4 结 论

4.1 非线性KdV-Schr?dinger方程

4.2 广义的Zakharov方程

致谢

参考文献

附录作者在攻读硕士学位期间发表的论文